1.3.3 L’aritmetica binaria

L’aritmetica binaria ha essenzialmente le stesse regole dell’aritmetica decimale, con l’accortezza che la base di numerazione è 2, ovvero si ha un riporto ogni volta che si raggiunge (o si oltrepassa) il valore 2. Di seguto sono riportati alcuni esempi esplicativi di come possono essere effettuate le quattro operazioni aritmetiche di base (somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione) in notazione binaria.

1.3.3.1 Somma

Si considerino i due numeri 56,375₁₀ = 111000,011₂ e 26,75₁₀ = 11010,11₂ e se ne faccia la somma

Infatti, 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1 ma 1 + 1 = 10₂ (cioè 0 con riporto di 1) e 1 + 1 + 1 = 11₂ (cioè 1 con riporto di 1). Il fatto è che con una base così piccola (2 è la minima possibile) bisogna tener conto di un sacco di riporti.

1.3.3.2 Sottrazione

Si considerino i due numeri 56,375₁₀ = 111000,011₂ e 26,75₁₀ = 11010,11₂ e se ne faccia la sottrazione

Infatti, 0 - 0 = 0, 1 - 0 = 1 ma 10₂ - 1 = 1 (cioè nel caso 0 - 1 si preleva un’unità dalla cifra immediatamente a sinistra e si considera 10₂ - 1, inoltre se l’unità viene prelevata da una cifra 0 essa preleva a sua volta un’unità da quella immediatamente a sinistra e tale cifra diviene 1, cioè il risultato di 10₂ - 1 e cede l’unità a quella a destra, come avviene nel caso decimale 100 - 3 = 97). Al solito, con una base così piccola si devono considerare un sacco di questi casi.

Eventualmente si può effettuare la somma tra il primo numero ed il complemento a 2 del secondo (senza tener conto delle virgole), ovvero 111000,011₂ + 100101,010₂, e scartare dal risultato la cifra più significativa.

Quindi, scartando la cifra più significativa si ottiene (scartando quindi anche lo zero in testa) 11101,101₂.

1.3.3.3 Moltiplicazione

Si considerino i due numeri 56,375₁₀ = 111000,011₂ e 13,75₁₀ = 1101,11₂ e se ne faccia la moltiplicazione. Per semplificare l’operazione di moltiplicazione si può fare in modo di moltiplicare ognuno dei fattori per un apposito valore in maniera che entrambi i fattori risultino interi. In questo caso, per quanto riguarda la notazione decimale, il primo fattore può essere moltiplicato per 1000 = 10³ ed il secondo per 100₁₀ = 10², per cui il risultato andrà diviso per 10³⁺² = 10⁵ = 10000₁₀, cioè si dovrà spostare la virgola di 5 posizioni verso sinistra. Per la notazione binaria il primo fattore può essere moltiplicato per 2³ = 8₁₀ ed il secondo per 2² = 4₁₀, per cui il risultato andrà diviso per 2³⁺² = 2⁵ = 32₁₀, cioè si dovrà spostare la virgola di 5 posizioni verso sinistra.

111000011 ×
110111 =
------111000011---+-------------------
111000011 +
111000011 +
000000000 +
111000011 +
111000011 =
--------------------------------------
110000011100101 ==> 1100000111,00101

56 375 ×
-----1-375---=-----------
281 875 +
3946 25 +
16912 5 +
-56375------=-----------
77515 625 ==> 775,15625

Come si può verificare 775,15625₁₀ = 1100000111,00101₂.

Anche nel caso delle moltiplicazioni, che sostanzialmente sono una serie di somme, ritorna fuori il problema dei riporti.

1.3.3.4 Divisione

Si considerino i due numeri 56,375₁₀ = 111000,011₂ e 13,75₁₀ = 1101,11₂ e se ne faccia la divisione. Per semplificare l’operazione di divisione si può fare in modo di moltiplicare sia il dividendo che il divisore per uno specifico valore, in maniera tale che il divisore risulti un valore intero: il risultato ottenuto in questo modo è lo stesso di quello che si sarebbe ottenuto effettuando la divisione tra i valori desiderati. In questo caso, per quanto riguarda la notazione decimale, il dividendo ed il divisore possono essere moltiplicati per 100₁₀ = 10², mentre per quanto riguarda la notazione binaria, entrambi possono essere moltiplicati per 2² = 4₁₀.

|
11100001,1----------|110111--------
101 1000 |100,000110011
10 00010 |
1011000 |
100001 0 |
101 1

Come si può verificare 4,1₁₀

100,000110011₂, infatti 4,1₁₀ = 100,00011₂, cioè la sequenza 0011 si ripete indefinitamente (si tratta di un valore periodico, il cui periodo è appunto 0011).

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